Limesmenge

In der Theorie dynamischer Systeme bezeichnet man als Limesmengen diejenigen Punkte des Zustandsraums, denen sich Orbite (für positive oder negative Zeit) unendlich oft annähern.

$\alpha$- und $\omega$-Limesmenge (Grenzzyklus) des Van-der-Pol-Oszillators

Definition

Sei $(T,X,f)$ ein dynamisches System mit $T=\mathbb{\mathbb{Z}}$ oder $\mathbb{ℝ}$ und $x\in X$ ein Punkt des Zustandsraumes.

Die $\omega$-Limesmenge von $x$ ist

$\omega (x,f):=\{y\in X:\mathrm{\exists }{t}_n\to \mathrm{\infty }f(t_n,x)\to y\}$.

Die $\alpha$-Limesmenge von $x$ ist

$\alpha (x,f):=\{y\in X:\mathrm{\exists }{t}_n\to -\mathrm{\infty }f(t_n,x)\to y\}$.

Alternativ lassen sich Limesmengen auch wie folgt charakterisieren:

$\omega (x,f)=\bigcap _n\overline{\{f(t,x):t>n\}}$,

$\omega (x,f)=\bigcap _n\overline{\{f(t,x):t<n\}}$.

Die Limesmengen sind abgeschlossen und invariant unter $f$. Falls $X$ kompakt ist, sind die Limesmengen nicht leer.

Typen

• Fixpunkt
• Periodischer Orbit
• Grenzzyklus
• Seltsamer Attraktor

Literatur

• Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (= Graduate Studies in Mathematics. Band 140). American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (freie Onlineversion).